多项式回归（Polynomial Regression）

如果您的数据点显然不适合线性回归（穿过数据点之间的直线），那么多项式回归可能是理想的选择。

像线性回归一样，多项式回归使用变量 x 和 y 之间的关系来找到绘制数据点线的最佳方法。

工作原理

Python 有一些方法可以找到数据点之间的关系并画出多项式回归线。我们将向您展示如何使用这些方法而不是通过数学公式。

在下面的例子中，我们注册了 18 辆经过特定收费站的汽车。

我们已经记录了汽车的速度和通过时间（小时）。

x 轴表示一天中的小时，y 轴表示速度：

示例代码：

首先绘制散点图：

import matplotlib.pyplot as plt
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
plt.scatter(x, y)
plt.show()

结果：

完整实例：

import matplotlib.pyplot as plt
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
plt.scatter(x, y)
plt.show()

示例代码：

导入 numpy 和 matplotlib，然后画出多项式回归线：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
myline = numpy.linspace(1, 22, 100)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(myline, mymodel(myline))
plt.show()

结果：

完整实例：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
myline = numpy.linspace(1, 22, 100)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(myline, mymodel(myline))
plt.show()

例子解释

导入所需模块：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

创建表示 x 和 y 轴值的数组：

x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]

NumPy 有一种方法可以让我们建立多项式模型：

mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))

然后指定行的显示方式，我们从位置 1 开始，到位置 22 结束：

myline = numpy.linspace(1, 22, 100)

绘制原始散点图：

plt.scatter(x, y)

画出多项式回归线：

plt.plot(myline, mymodel(myline))

显示图表：

plt.show()

R-Squared

重要的是要知道 x 轴和 y 轴的值之间的关系有多好，如果没有关系，则多项式回归不能用于预测任何东西。

该关系用一个称为 r 平方（ r-squared）的值来度量。

r 平方值的范围是 0 到 1，其中 0 表示不相关，而 1 表示 100％ 相关。

Python 和 Sklearn 模块将为您计算该值，您所要做的就是将 x 和 y 数组输入：

示例代码：

我的数据在多项式回归中的拟合度如何？

import numpy
from sklearn.metrics import r2_score
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
print(r2_score(y, mymodel(x)))

完整实例：

import numpy
from sklearn.metrics import r2_score
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
print(r2_score(y, mymodel(x)))

注释：结果 0.94 表明存在很好的关系，我们可以在将来的预测中使用多项式回归。

预测未来值

现在，我们可以使用收集到的信息来预测未来的值。

例如：让我们尝试预测在晚上 17 点左右通过收费站的汽车的速度：

为此，我们需要与上面的实例相同的 mymodel 数组：

mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))

示例代码：

预测下午 17 点过车的速度：

import numpy
from sklearn.metrics import r2_score
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
speed = mymodel(17)
print(speed)

完整实例：

import numpy
from sklearn.metrics import r2_score
x = [1,2,3,5,6,7,8,9,10,12,13,14,15,16,18,19,21,22]
y = [100,90,80,60,60,55,60,65,70,70,75,76,78,79,90,99,99,100]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
speed = mymodel(17)
print(speed)

该例预测速度为 88.87，我们也可以在图中看到：

糟糕的拟合度？

让我们创建一个实例，其中多项式回归不是预测未来值的最佳方法。

示例代码：

x 和 y 轴的这些值会导致多项式回归的拟合度非常差：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
x = [89,43,36,36,95,10,66,34,38,20,26,29,48,64,6,5,36,66,72,40]
y = [21,46,3,35,67,95,53,72,58,10,26,34,90,33,38,20,56,2,47,15]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
myline = numpy.linspace(2, 95, 100)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(myline, mymodel(myline))
plt.show()

结果：

完整实例：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt
x = [89,43,36,36,95,10,66,34,38,20,26,29,48,64,6,5,36,66,72,40]
y = [21,46,3,35,67,95,53,72,58,10,26,34,90,33,38,20,56,2,47,15]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
myline = numpy.linspace(2, 95, 100)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(myline, mymodel(myline))
plt.show()

r-squared 值呢？

示例代码：

您应该得到一个非常低的 r-squared 值。

import numpy
from sklearn.metrics import r2_score
x = [89,43,36,36,95,10,66,34,38,20,26,29,48,64,6,5,36,66,72,40]
y = [21,46,3,35,67,95,53,72,58,10,26,34,90,33,38,20,56,2,47,15]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
print(r2_score(y, mymodel(x)))

完整实例：

import numpy
from sklearn.metrics import r2_score
x = [89,43,36,36,95,10,66,34,38,20,26,29,48,64,6,5,36,66,72,40]
y = [21,46,3,35,67,95,53,72,58,10,26,34,90,33,38,20,56,2,47,15]
mymodel = numpy.poly1d(numpy.polyfit(x, y, 3))
print(r2_score(y, mymodel(x)))

结果：0.00995 表示关系很差，并告诉我们该数据集不适合多项式回归。